Antonio Alcázar dio sus primeras patadas a un balón en una plaza del Barrio de Gracia, dónde jugaba indistintamente de portero, defensa, centrocampista o delantero. Esta plaza estaba muy cerca del primer campo de fútbol en el que disputó sus partidos el Europa, club que había sido fundado en 1907 tras una fusión entre el Madrid de Barcelona y el Provenzal.
Cuando apenas rebasaba los diez años, Alcázar ingresó en un modesto club barcelonés del Barrio de Gracia, denominado Neptuno en el que jugaba de portero. Al poco tiempo de militar en este conjunto fichó por el infantil del Club Deportivo Europa, club en el que, año tras año, fue progresando hasta llegar al primer equipo en el que definió su posición como extremo izquierdo. En un principio, sólo disputó partidos amistosos, pero su gran calidad, unida a su velocidad, le llevó a ser alineado en el conjunto titular en la temporada 1918-19, cuando aún no había cumplido los 17 años. En esa temporada, la entidad logró el que, en aquel entonces, sería el mayor éxito de su aún corta historia, al conseguir el ascenso a la máxima categoría del campeonato regional catalán.
Debut con la selección catalana
La progresión de Alcázar fue meteórica. El 6 de febrero de 1921, cuando aún no había cumplido los 19 años, debutó con la selección de Cataluña en un encuentro ante Francia Sudoeste que acabó con victoria catalana por 5-1. Durante este año disputó cuatro partidos con dicha selección, en los cuales su equipo obtuvo tres victorias y una derrota.
Mientras tanto, el Europa se convertía en uno de los clubes más fuertes de Cataluña, rivalizando con el F.C. Barcelona y el Español. El equipo del Barrio de Gracia, con Alcázar como titular indiscutible, se proclamó subcampeón catalán en las temporadas 20/21 y 21/22, tras mantener una enconada pugna con el F.C. Barcelona.
